В нашей базе: 139952 рефератов
Последние добавления Тор 100
Поиск искать просто Реферат        Расширеный поиск Точный поиск
Вхід в абонемент


Нахождение статистических оценок параметров эконометрической модели

в) МНК по системе нормальных уравнений. Этот метод является наиболее точным методом нахождения оценок параметров эконометрической модели. Через облако точек диаграммы рассеяния можно провести множество прямых. Согласно МНК прямая должна пройти так, чтобы отклонение действительных значений переменной y от значений переменной y, найденных по оценочной прямой (расчетных значений) было наименьшим. Эти отклонения мы обозначили. Чтобы избавиться различных знаков для отклонений, поднимем эти отклонения в квадрат и найдем их сумму. В результате получим функцию, неизвестными величинами в которой будут оценки a и b:

(5)

Исследуем эту функцию на min. Для этого возьмем частные производные этой функции по a и b и приравняем их к нулю:

В результате выполнения преобразований получим следующую систему, которая называется системой нормальных уравнений:

(6)

решив которую, находим a и b:

Решения системы (6) методом Крамера можно найти по формулам:

(7)

(8)

в) МНК из-за отклонения от средних. Рассмотрим нахождения оценок параметров с помощью метода отклонений от средних арифметических. Основу данного метода составляют свойства оценок, найденных МНК, которые заключаются в том, что линия регрессии обязательно проходит через точку средних значений.

Разделим первое уравнение системы (6) на n:

.

В результате получим

или

. (9)

Далее вычтем из расчетного значения переменной y (2) ее среднее значение, найденное по формуле (9):

.

Отсюда (10) Найдем отклонение фактических значений переменной y от расчетных, найденных по формуле (10):

.

и - это отклонение переменных y и x от их средних значений. Для простоты обозначим их и.

Дальше рассматриваем функцию, представляет собой сумму квадратов отклонений действительных значений переменной y от расчетных и исследуем ее на min.

Поскольку полученная функция зависит только от b, то находим частную производную этой функции по b и приравниваем ее к нулю.

.

Отсюда находим параметр b:

(11)

Параметр а найдем из формулы (9):

(12)

Формулы (11) и (12) - это формулы для нахождения оценок параметров эконометрической модели методом наименьших квадратов из-за отклонения от средних.

Пример 1. По статистическим данным за 5 периодов (данные условные) о валовой выпуск продукции y и количество рабочей силы x необходимо рассчитать оценки параметров эконометрической модели (линейная форма взаимосвязи):

а) МНК по системе нормальных уравнений

б) МНК из-за отклонения от средних.

Статистические данные для расчета приведены в таблице 1.

Таблица 1.

№ предприятия | Валовой выпуск продукции

уи | Количество рабочей силы,

хи

1 | 8 | 12

2 | 17 | 16

3 | 13 | 15

4 | 14 | 14

5 | 15 | 18

Решение. Построим таблицу

№ п /п | xi | yi | xi2 | xiyi | xi | (xi) 2 | yi | xi yi

1 | 8 | 12 | 144 | 96 | -3 | 9 | -5,4 | 16,2

2 | 17 | 16 | 256 | 272 | 1 | 1 | 3,6 | 3,6

3 | 13 | 15 | 225 | 195 | 0 | 0 | -0,4 | 0

4 | 14 | 14 | 196 | 196 | -1 | 1 | 0,6 | -0,6

5 | 15 | 18 | 324 | 270 | 3 | 9 | 1,6 | 4,8

Сумма | 67 | 75 | 1145 | 1029 | 0 | 20 | 0 | 24

Запишем систему нормальных уравнений:

Решим ее:

Найдем эти же оценки по формулам отклонений от средних (11) и (12):

;.

Итак, нами получено оценочное уравнение эконометрической модели

= -4,6 + 1,2 х.